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Source : Wikipédia

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Au IIIème siècle avant J.-C., Eratosthène remarque qu'au solstice d'été, aucune ombre ne se forme au fond d'un puits de la ville de Syène.

Il en déduit qu'à ce moment là, le Soleil est au zénith et que l'on peut considérer que ses rayons arrivent parallèlement jusqu'au fond du puits. 

En supposant que la Terre est une sphère parfaitement ronde, il fait la projection quand prolongeant les rayons du Soleil dans cette configuration, ces derniers passeraient par le centre de la Terre.

A la même date à Alexandrie, il se dit que les rayons du Soleil pourront toujours être considérés comme parallèles et plante verticalement un bâton de 100 cm puis en mesure l'ombre, celle-ci mesure 12,3 cm.
Le bâton et son ombre forment ainsi un triangle rectangle, l'ombre étant le côté opposé et le bâton le côté adjacent.

Il cherche a connaître l'angle entre le côté adjacent et l'hypothénuse de ce triangle rectangle.
En rapportant l'angle, de manière à former un cercle complet, il constate que l'angle mesure 1/50ème de cercle. Ce qui correspond à un angle de 360/50 = 7,2°.

En prolongeant les rayons du Soleil d'une part et le bâton jusqu'au centre de la Terre d'autre part, on obtient 2 droites parallèles coupées par une droite secante dont les angles formés sont alernes-internes.

Source : Wikipédia

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C'est à dire que l'angle d'1/50ème de cercle mesuré par le bâton, est de même valeur que l'angle au niveau du centre de la Terre compris dans un triangle dont les trois sommets sont respectivement : le bâton à Alexandrie, le centre de la Terre, et le puits à Syène.

Source : Wikipédia

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Connaissant la distance entre Syène et Alexandrie, environ 800 Km, on peut calculer le périmètre de la Terre.
800 x 50 = 40 000 Km

On peut également le calculer en effectuant un produit en croix.
2 x π x r = (800 x 360°) / 7,2°
2 x π x r = 40 000 Km

La valeur actuelle du périmètre méridional de la Terre est de 40 007 Km.

En divisant 40 000 par 2π, on obtient le rayon de la Terre.
rTerre = 40 000 / (2 x π) = 6 370 Km

La valeur actuelle du rayon équatorial de la Terre est de 6 378 Km.
Son rayon polaire est de 6 356 Km.

On peut également calculer à la calculatrice, l'angle de la tangente du triangle rectangle formé par le bâton par le calcul suivant :
tan = côté opposé/côté adjacent
tan = 12,3/100
Pour calculer l'angle on utilise la fonction tan-1 ou arc tangente
tan-1 = 12,3/100
tan-1 = 7,0° soit très proche des 7,2°

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